MAT01 Mathematische Grundlagen

Die Funktionsgleichung eines kubischen Polynoms f mit \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) soll bestimmt werden. Dazu ermittle man die Konstanten a,b,c,d jeweils derart, dass f die folgende Eigenschaften besitzt: f hat für \({x_0}=0\) eine Nullstelle, die gleichzeitig Wendestelle ist. Ein relatives Extremum liegt bei \({x_1}=-2\). Die Kurventangente an der Stelle \({x_2}=4\) hat die Steigung 3.

Problem einordnen

Um die Aufgabe zu lösen, müssen wir wissen,

(i) was eine Nullstelle ist?

(ii) was eine Wendestelle ist?

(iii) was ein Extremum charakterisiert?

(iv) was die Steigung einer Tangente ist? (Die Theorie hierzu finden sie im Skript Block II LS 1 Seite 3 unten.) Applet

Formaler Lösungsweg

Verwertung der ersten Information: f hat für \({x_0}=0\) eine Nullstelle. Das heisst, wenn wir die Stelle \({x_0}=0\) in die Funktion f einsetzen, muss Null rauskommen (die Funktion geht also durch den Ursprung): \(f({x_0})=f(0)=0\). Also nehmen wir die Funktion f(x), setzen für x=0 ein, also \(f(0)=a \cdot 0^3+b \cdot 0^2+c \cdot 0+d\), und setzen dann das Ganze gleich Null (da f hier eine Nullstelle hat): \(f(0)=a \cdot 0^3+b \cdot 0^2+c \cdot 0+d=0\). Nun lösen wir die Gleichung auf und erhalten die Bedingung \(d=0\). Damit haben wir die erste Konstante berechnet. Die Funktion vereinfacht sich also zu \(f(x)=ax^3+bx^2+cx\), wobei wir a,b,c noch nicht bestimmt haben.

Verwertung der zweiten Information: f hat für \({x_0}=0\) eine Nullstelle, die gleichzeitig Wendestelle ist. Das heisst, an der Stelle \({x_0}=0\) nimmt die Funktion nicht nur den Wert Null an (Nullstelle), sondern wir wissen auch, dass die Funktion im Ursprung eine Wendestelle hat. Eine Wendestelle hat die Charakteristik, dass die zweite Ableitung der Funktion an der Wendestelle den Wert Null annimmt. Die zweite Ableitung von f bezüglich x können wir wie folgt berechnen: \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d \quad \Rightarrow \quad f'(x)=3ax^2+2bx+c \quad \Rightarrow \quad f''(x)=6ax+2b\)

Nun wissen wir dass \(f''(x)\) an der Stelle x=0 den Wert null annimmt: Also, \(f''(0)=6a \cdot 0+2b=0\). Die letzte Gleichung können wir vereinfachen und erhalten die Bedingung: \(2b=0\), also muss b=0 sein. Damit haben wir die zweite Konstante berechnet. Die Funktion lautet also \(f(x)=ax^3+cx\), wobei wir a und c noch nicht bestimmt haben.

Verwertung der dritten Information: Ein relatives Extremum liegt bei \({x_1}=-2\). Die Funktion hat also entweder ein Maximum oder ein Minimum an der Stelle \({x_1}=-2\). Wir wissen, dass wenn die Funktion f ein Extremum hat, dann ist die Steigung der Tangente Null (und zwar unabhängig davon, ob es ein Maximum oder ein Minimum ist). Daher können wie \(f'(x)\) berechnen. Wir wissen dann, wenn wir die Stelle \({x_1}=-2\) danach in \(f'(x)\) einsetzen, dann muss Null rauskommen: \(f'(-2)=0\). Also, zuerst berechnen wir \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\) allgemein, setzen dann für x den Wert -2 ein \(f'(-2)=3a \cdot (-2)^2+2b \cdot (-2)+c=12a-4b+c\) und setzen das Ganze danach gleich Null: \(f'(-2)=12a-4b+c=0\)

Von früher wissen wir, dass b=0 ist, sodass wir die Bedingung erhalten \(12a+c=0\). Diese Bedingung lassen wir so stehen für den Moment, da sie von zwei Konstanten abhängt.

Verwertung der vierten Information: Die Kurventangente an der Stelle \({x_2}=4\) hat die Steigung 3. Da \(f'(x)\) die Ableitungsfunktion der Funktion f ist und die Information beinhaltet, welche Steigung die Tangente der Funktion f hat für beliebige x, können wir nun \(f'(x)\) berechnen und danach den Wert 4 für x einsetzen, weil dann 3 rauskommen muss: Das heisst, \(f'(4)=3\):

\(f'(x)=3ax^2+2bx+c \quad \Rightarrow \quad f'(4)=3a \cdot 4^2+2b \cdot 4+c=3\)

Die letzte Gleichung vereinfacht ergibt \(48a+8b+c=3\). (Bemerkung: Die Verwertung dieser vierten information ist eng verknüpft mit der Aufgabe 3 und Aufgabe 4 der Serie 3.

Von früher wissen wir, dass b=0 ist, sodass wir die Bedingung erhalten \(48a+c=3\). Diese Bedingung hängt auch von zwei Konstanten ab.

Kombination der dritten und vierten Information: Wir können nun die dritte Bedingung \(12a+c=0\) mit der vierten Bedingung \(48a+c=3\) kombinieren, um a und c zu eruieren. Die dritte Bedingung kann wie folgt umgeformt werden: \(c=-12a\)

Wir können nun diese Bedingung in die vierte Bedingung einsetzen: \(48a+c=3 \quad \Rightarrow \quad 48a+(-12a)=3\) \( \Rightarrow \quad 36a=3 \quad \Rightarrow \quad a=1/12\)

Daraus können wir auch noch c berechnen, indem wir \(a=1/12\) in die dritte Bedingung einsetzen (alternativ wäre auch das Einsetzen in die vierte Bedingung möglich): \(12a+c=0 \quad \Rightarrow \quad 12 \cdot (1/12)+c=0 \quad \Rightarrow \quad c=-1\)

Somit haben wir alle Konstanten berechnet und können die Funktion vollständig aufschreiben, welche alle vorgegebenen Bedingungen in der Aufgabenstellung erfüllt. Die Lösung lautet: \(f(x)=(1/12)x^3-x\)

Zum Schluss können wir das Resultat überprüfen, indem wir die Funktion \(f(x)=(1/12)x^3-x\) skizzieren und überprüfen, ob die Funktion tatsächlich die angegebenen Bedingungen erfüllt. Die Grafik finden Sie hier.

\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\)

\(f'(x)=3ax^2+2bx+c\)

\(f''(x)=6ax+2b\)

\(f'''(x)=6a\)

I: \(f(0)=0 \quad \Rightarrow \quad d=0\)

II: \(f''(0)=0 \quad \Rightarrow \quad b=0\)

III: \(f'(-2)=0 \quad \Rightarrow \quad 12a-4b+c=0\)

IV: \(f'(4)=3 \quad \Rightarrow \quad 48a+8b+c=3\)

\(12a-4b+c=0\) und \(48a+8b+c=3 \quad \Rightarrow \quad a=1/12\) und \(c=-1\)

\(f(x)=(1/12)x^3-x\)